\documentclass{article}
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\newmdtheoremenv[
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]{zgraytheorem}{}
% 定义说明环境样式
\newtheoremstyle{mystyle}% 说明环境样式的名称
  {1em}% 上方间距
  {1em}% 下方间距
  {\normalfont}% 说明内容的字体样式
  {}% 缩进量
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  {.}% 说明标记和说明内容之间的标点
  {1em}% 说明标记后的水平空间
  {}% 说明标记后的垂直空间
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\theoremstyle{mystyle}
\newtheorem*{zremark}{说明}


\begin{document}
\title{4.2 习题}
\maketitle

\begin{zgraytheorem}
  \begin{zremark}
    在本节的证明过程中，用到一些在4.1节未提到的整数代数定律，但都很明显，
    我就没有特别说明证明了
  \end{zremark}
\end{zgraytheorem}

\section*{4.2.1}

证明：

设$x=a//b,y=c//d,z=e//f$为有理数,其中$a,c,e$是整数，$b,d,f$是不为零的整数。

（1）自反性

$ab=ab$，由定义4.2.1（有理数相等的定义）可知$x=x$

（2）对称性

假设$x=y$，由定义4.2.1（有理数相等的定义）可知$ad=bc$，再次利用定义4.2.1（有理数相等的定义）可知$y=x$

（3）传递性

假设$x=y,y=z$，由定义4.2.1（有理数相等的定义）可知$ad=bc,cf=de$，又
\begin{align*}
  ad  & = bc  \\
  adf & = bcf \\
\end{align*}
\begin{align*}
  cf  & = de  \\
  bcf & = bde \\
\end{align*}
所以：$adf = bcf = bde, adf = bde$，由推论4.1.9可知$af=be$，所以$x=z$

\begin{zgraytheorem}
  \begin{zremark}
    其实这里需要引入一个额外的命题，$a=b$，$a,b,c$都是整数，那么$ac=bc$。
    这个命题相对简单，这里说一下证明思路，先证明自然数符合该命题，然后再推广到整数。
  \end{zremark}
\end{zgraytheorem}

\section*{4.2.2}

证明：

（1）乘积的定义是明确的

假设$a // b = a^\prime // b^\prime$，那么$a b^\prime = a^\prime b$，
\begin{align}
  (a//b)*(c//d)                      & =(ac)//(bd)                    \\
  (a^\prime // b^\prime) // (c // d) & = (a^\prime c) // (b^\prime d)
\end{align}
因此我们要证明的是$acb^\prime d = bda^\prime c$，由推论4.1.9（整数的消去律）可知，只需证明
$ab^\prime = ba^\prime$，由假设可知该等式成立；

（2）负数的定义是明确的

假设$a // b = a^\prime // b^\prime$，那么$a b^\prime = a^\prime b$，
\begin{align}
  -(a//b)                 & = (-a)//b               \\
  -(a^\prime // b^\prime) & = (-a^\prime)//b^\prime
\end{align}
因此我们要证明的是$(-a)b^\prime = (-a^\prime)b $，由习题4.1.3可知
\begin{align*}
  (-a)b^\prime & =(-1)\times ab^\prime  \\
  (-a^\prime)b & =(-1)\times a^\prime b \\
\end{align*}
由推论4.1.9（整数的消去律）可知，只需证明
$ab^\prime = a^\prime b$，由假设可知该等式成立；


\section*{4.2.3}

证明：

我们记$x=a//b,y=c//d,z=e//f$，其中$a,c,e$是整数，$b,d,f$是不为零的整数。

（1）$x + y = y + x$

\begin{align*}
  x + y & = (a//b) + (c//d)   \\
        & = (ad + bc) // (bd)
\end{align*}
又
\begin{align*}
  y + x & = (c//d) + (a//b)   \\
        & = (cb + da) // (db)
\end{align*}
由定义4.2.1（有理数的相等定义）可知要证明$x+y=y+x$，只需证明
$(ad + bc)(db) = (cb + da) (bd)$，利用整数的代数定律可知，等式成立。

（2）$x + 0 = 0 + x = x$

\begin{align*}
  x + 0 & = (a//b) + (0//1)  \\
        & = (a1 + b0) // (b) \\
        & = a // b           \\
        & = x
\end{align*}
又
\begin{align*}
  0 + x & = (0//1) + (a//b)  \\
        & = (0b + 1a) // (b) \\
        & = a // b           \\
        & = x
\end{align*}

（3）$x + (-x) = (-x) + (x) = 0$

由（1）可知$x + (-x) = (-x) + (x)$

\begin{align*}
  x + (-x) & = (a//b) + [(-a)//b]         \\
           & = [ab + (-a)b] // bb         \\
           & = [ab + (-1) \times ab]// bb \\
           & = [ab(1+(-1))] // bb         \\
           & = [ab(0)] // bb              \\
           & = 0 // bb                    \\
           & = 0
\end{align*}

（4）$xy = yx$

\begin{align*}
  xy & = (a//b) * (c//d) \\
     & = (ac) // (bd)    \\
\end{align*}
又
\begin{align*}
  yx & = (c//d) * (a//b) \\
     & = (ca) // (db)    \\
\end{align*}
现只需证明$acdb = bdca$，由整数的代数定律可知，等式成立。

（5）$(xy)z = x(yz)$

\begin{align*}
  (xy)z & = [(a//b) * (c//d)] * (e//f) \\
        & = (ac//bd) * (e//f)          \\
        & = ace//bdf                   \\
\end{align*}
又
\begin{align*}
  x(yz) & = a//b * [(c//d)*(e//f)] \\
        & = a//b * (ce//df)        \\
        & = ace//bdf               \\
\end{align*}

（6）$x1 = 1x = x$

由（4）可知$x1 = 1x$

\begin{align*}
  x1 & = (a//b) * (1//1) \\
     & = (a1//b)         \\
     & = a//b            \\
     & = x               \\
\end{align*}

（7）$x(y+z) = xy + xz$

\begin{align*}
  x(y+z) & = (a // b)[c // d + e // f] \\
         & = (a // b)[(cf + de) // df] \\
         & = [a(cf + de)] // bdf       \\
         & = (acf + ade) // bdf        \\
\end{align*}
又
\begin{align*}
  xy + xz & = (a//b) * (c//d) + (a//b) * (e//f) \\
          & = (ac // bd) + (ae // bf)           \\
          & = (acbf + bdae) // bdbf             \\
\end{align*}

由有理数相等的定义可知，我们此时只需证明
$(acf + ade)bdbf = bdf(acbf + bdae)$。
\begin{align*}
  (acf + ade)bdbf  & = acfbdbf + adebdbf \\
                   & = abbcdff + abbddef \\
  bdf(acbf + bdae) & = bdfacbf + bdfbdae \\
                   & = abbcdff + abbddef \\
\end{align*}
所以$(acf + ade)bdbf = bdf(acbf + bdae)$。

（8）$(y+z)x = yx + zx$

由（4）可知
\begin{align*}
  (y+z)x & = x(y+z) \\
  xy     & = yx     \\
  xz     & = zx     \\
\end{align*}
综上，可知$(y+z)x=x(y+z)=xy+xz=yx+zx$，命题得证；

\section*{4.2.4}

\begin{zgraytheorem}
  \begin{zremark}
    由有理数的定义可知，有理数是由整数构造而成，通过整数的三歧性，可以推导出有理数的三歧性。
  \end{zremark}
\end{zgraytheorem}

设$x$为任意有理数，由有理数的定义可知，存在$x=a/b$，其中$a,b$是整数。

首先证明（a）(b)（c）中至少有一个为真。
我们有如下三种情况：$a$、$b$同号，$a$、$b$异号，$a$为0。

如果$a,b$同号，也就是说，要么$a,b$都是正整数，要么$a,b$都是负整数。
如果$a,b$都是正整数，由定义4.2.6可知$x$是正的；
如果$a,b$都是负整数，不妨设$a=-a^\prime, b=-b^\prime$，其中$a^\prime,b^\prime$是正整数，
此时，
\begin{align*}
  x & = a/b                       \\
    & = (-a^\prime) / (-b^\prime) \\
    & = a^\prime / b^\prime       \\
\end{align*}
所以$x$是正的。

如果$a,b$是异号，要么$a$是正整数$b$负整数，或反之。
如果$a$是正整数$b$负整数，不妨设$b=-b^\prime$，其中$b^\prime$是正整数，
此时，
\begin{align*}
  x & = a/b           \\
    & = a/(-b^\prime) \\
    & = -(a/b^\prime) \\
\end{align*}
所以$x$是负的；
同理可证$a$是负整数$b$正整数时，$x$是负的。

如果$a$为0，则$x=a/b=0/1=0$。

所以（a）(b)（c）中至少有一个为真

现在我们证明（a）、（b）、（c）最多有一个为真。

（a）、（b）不能同时为真，如果（a）、（b）同时为真，
当$x=a/b=0$，则$a=0$，
当$x=a/b$是正的，则$a$是正整数，
这与正整数大于0矛盾。

（a）、（c）不能同时为真，如果（a）、（b）同时为真，
当$x=a/b=0$，则$a=0$，
当$x=a/b$是负数，则$(-a)$是正整数，这与$a=0$矛盾，因为$(-0)=0$；

（b）、（c）不能同时为真，如果（b）、（c）同时为真，
那么存在$x=a/b,x=(-a^\prime)/b^\prime$，其中$a,b,a^\prime,b^\prime$是正整数，
\begin{align*}
  a / b     & = (-a^\prime) / b^\prime \\
  ab^\prime & = (-a^\prime)b           \\
\end{align*}
由于$ab^\prime$是正整数，所以$(-a^\prime)b$也一定是正整数，但很明显在$-a^\prime$是负整数，
$b$是正整数的情况下，$(-a^\prime)b$是负整数，存在矛盾，所以（b）、（c）不能同时为真。

所以（a）（b）（c）最多有一个为真。

\begin{zgraytheorem}
  \begin{zremark}
    在（b）、（c）不能同时为真的证明过程中，用到一个命题：
    a，b是正自然数【也可以把a，b看成正整数】，那么(-a)b是负整数。

    证明：

    \begin{align*}
      (-a)b & = (0-a)(b-0)               \\
            & = (0*b + a*0) - (ab + 0*0) \\
            & = -ab                      \\
    \end{align*}
    因为$ab$是正自然数，所以$-ab$是负整数。
  \end{zremark}
\end{zgraytheorem}
\section*{4.2.5}

\section*{4.2.5}

证明：

（a）（序的三歧性）命题$x = y$、$x < y$和$x > y$中恰有一个为真。

有引理4.2.7（有理数的三歧性）可知，$x-y$的值只有以下三种情况：
（1）$x-y$是0，此时$x = y$【无法$x-y=0,x=y$直接得到，证明比较简单，这里省略】；
（2）$x-y$是正有理数，由定义4.2.9（有理数的排序）可知$x > y$；
（3）$x-y$是负有理数，由定义4.2.9（有理数的排序）可知$x < y$；

（b）（序是反对称的）我们有$x < y$当且仅当$y > x$。

充分性：如果$x<y$，由定义4.2.8可知$x-y$是一个负有理数，即存在两个正整数$a$和$b$使得
$x - y = (-a) / b$，现在只需证明$y - x = a / b$即可证明充分性。
由
\begin{align*}
  x - y + y - x              & = 0     \\
  (-a) / b + (y - x)         & = 0     \\
  (-a) / b + (y - x) + a / b & = a / b \\
  y - x                      & = a / b
\end{align*}
可知$y - x = a / b > 0$，所有$y > x$。

必要性：证明同上。

（c）（序是可传递的）如果$x < y$且$y < z$，那么$x < z$。

由$x < y, y < z$与（b）可知$y>x,z>y$，所以$y - x = a, z - y = b$，其中$a, b$是正有理数，
由此可知:
\begin{align*}
  z - x & = z - y + y - x     \\
        & = (z - y) + (y - x) \\
        & = a + b             \\
\end{align*}
所以$z - x $是正有理数，所以$z > x$，由（b）可知 $x < z$。

（d）（加法保持序不变）如果$x < y$，那么$x + z < y + z$。

\begin{align*}
  (y + z) - (x + z) & = (y + z) - x - z & \text{【见说明】} \\
                    & = y + z - x - z                  \\
                    & = y - x                          \\
\end{align*}
由$x < y$和（b）可知$y-x$是正有理数，所以$x + z < y + z$。

\begin{zgraytheorem}
  \begin{zremark}
    以上的证明中用到命题：$x,y$是有理数，$-(x+y) = (-x) + (-y)$。

    证明：

    不妨设$x = a/b, y = c/d$，其中$a,b,c,d$是整数，且$b,d$不为零。
    \begin{align*}
      -(x+y) & = -(a/b + c/d)                              \\
             & = -[(ad+bc)/bd]                             \\
             & = -(ad+bc)/bd                               \\
             & = (-1) \times (ad+bc)/bd & \text{【习题4.1.3】} \\
    \end{align*}
    又
    \begin{align*}
      (-x) + (-y) & = (-a)/b + (-c)/d                              \\
                  & = [(-a)d + b(-c)] / bd                         \\
                  & = [(-1)ab + (-1)bc] /bd     & \text{【习题4.1.3】} \\
                  & = (-1) \times (ab + bc) /bd & \text{【命题4.1.6】} \\
    \end{align*}
    由上可知$-(x+y) = (-x) + (-y)$。

  \end{zremark}
\end{zgraytheorem}

（e）（正的乘法保持序不变）如果$x < y$且$z$是正的， 那么$xz < yz$。

不妨设$x = a/b, y = c/d, z = e/f$，其中$a,b,c,d,e,f$是整数，且$b,d,f$不为零的正整数。

\begin{align*}
  yz - xz & = c/d * e/f - a/b * e/f \\
          & = ce/df - ae/bf         \\
          & = (cebf - aedf) / dfbf  \\
\end{align*}
由于$b,d,f$是不为零的正整数，所以$dfbf$是整数，由此$yz - xz$的正负由$cebf - aedf$的正负决定。
由于$x<y$可知:
\begin{align*}
  y-x                 & = c/d-a/b         \\
                      & = cb + (-a)d / db \\
  \rightarrow cb - ad & > 0               \\
\end{align*}
综上：
\begin{align*}
  cebf - aedf & = ef(cb-ad) & \text{命题4.1.6} \\
              & > 0                          \\
\end{align*}
所以$yz - xz > 0$，于是$yz > xz$命题成立。

\section*{4.2.6}

证明：

不妨设$x = a/b, y = c/d, z = e/f$，其中$a,b,c,d,e,f$是整数，且$b,d,f$不为零的正整数，$e$是负整数。
由习题4.2.5（e）的证明可知：

\begin{align*}
  xz - yz & = a/b * e/f - c/d * e/f \\
          & = ae / bf - ce / df     \\
          & = (aedf - bfce ) / bfdf \\
          & = ef(ad - bc) / bfdf    \\
\end{align*}
由$x<y$可知$ad - bc > 0$，又$z$是负数，所以$ef < 0$。现在只需证明正整数与负整数的乘积是负数。

设$n,m$都是正自然数【按照整数的正负定义可知$a,b$也是正整数】，
\begin{align*}
  n(-m) & = (n-0)(0-m)               \\
        & = (n*0 + 0*m) - (0*0 + nm) \\
        & = -nm                      \\
\end{align*}
由$n(-m)$是正自然数$nm$的负数，所有$n(-m)$是负整数。

由此可知$ef(ad - bc)/ bfdf$是负有理数，所以$xz - yz$是负有理数，按照定义4.2.8（有理数的排序）可知$xz > yz$。
\end{document}